Les mathématiques arabes (IXe _ XVIe s)
Textes et documents
contributors
Coordinateur :
Ahmed DJEBBAR
toc
Avant-propos........................................................................................................... 5
Transcription latine des phonèmes arabes .............................................................. 8
I. Introduction générale...........................................................................9
Quelques repères dans l'histoire des activités mathématiques arabes ........... 11
LE CONTEXTE DU DÉVELOPPEMENT DES ACTIVITÉS SCIENTIFIQUES EN PAYS D'ISLAM ..... 11
Les différents domaines des mathématiques arabes ............................................. 18
II. L'algèbre ........................................................................................... 19
1. La phase arabe de l'algèbre .................................................................... 21
Les débuts de l'algèbre arabe .................................................................... 21
La tradition d'al-khwĀrizmī ..................................................................... 22
La tradition d'abŪ kĀmil et d'al-karajī ...................................................... 23
La théorie des polynômes chez al-karajī et as-samaw'al al-maghribī .... 24
Les systèmes d'équations ........................................................................ 25
L'analyse indéterminée ............................................................................. 27
La tradition d'al-khayyĀm et d'aṬ-ṬŪSī .................................................. 29
L'algèbre aux xiiiᵉ-xivᵉ siecles .................................................................. 31
L'algèbre en occident musulman ............................................................. 31
Les ouvrages d'algèbre de l'occident musulman qui nous sont parvenus .. 32
2. LES PROBLEMES DU PREMIER ET DU SECOND DEGRE .................................... 35
A. La phase antérieure au livre d'algèbre d'al-khwĀrizmī ........................ 35
1. Extraits du livre sur le mesurage d'ibn ᶜabdŪn ................................... 35
2. Extraits du livre de l'approfondissement d'al- ubŪbī ......................... 36
2.1 le procédé du dinar et du dirham ................................................... 36
2.2 le procédé des deux erreurs ............................................................ 37
2.3 le procédé du bāb ............................................................................ 38
2.4 le procédé des lignes ............................................................................ 38
2.5 le procédé des surfaces ........................................................................ 39
3. Extrait du livre de la quintessence du calcul d'al-ᶜĀmilī ....... 40
3.1 procédé de l'inverse : ........................................................................... 40
B. L'algèbre d'al-khwārizmī et de ses successeurs ....................................... 42
1. Extraits du mukhtaṣar fī l-jabr d'al-khwārizmī ....................................... 42
1.1 les objets et les outils de l'algèbre .......................................................... 42
1.2 la quatrième équation canonique : .......................................................... 46
Preuve de l'existence de la solution de l'équation ............................................ 48
Remarque ........................................................................................................... 49
1.3 problème des biens ................................................................................ 50
1.4 problème des dizaines ............................................................................. 50
1.5 problème des hommes ............................................................................. 51
1.6 problème d'arpentage ............................................................................. 52
1.7 problème d'héritage ................................................................................ 53
2. Extrait du livre complet en algèbre d'abū kāmil ....................................... 55
2.1 problème à solution irrationnelle ............................................................. 55
3. Extraits du kitāb al-uṣūl d'ibn al-bannā .................................................. 56
3.1 problème de partage ................................................................................ 56
3.2 Problème de l'aumône ............................................................................. 58
3.3 problèmes indéterminés ........................................................................... 59
3.4 problème à solutions entières .................................................................. 61
4. Les systèmes d'équations ........................................................................ 63
4.1 PROBLÈMES DE RENCONTRE ET D'ACHAT DE PRODUITS .................................... 63
1.1 Problèmes à deux inconnues ............................................................. 63
Procédé d'ibn Ṭāhir ............................................................................. 63
Procédé d'al-karajī : ............................................................................ 63
1.2 problèmes à trois inconnues ............................................................. 64
Procédé d'ibn Ṭāhir : ............................................................................. 64
Premier procédé d'al-karajī : ............................................................. 65
Second procédé d'al-karajī : ............................................................. 66
Achat de produits de consommation courante .......................................... 67
1.3 problème à quatre inconnues : .......................................................... 68
1.4 problème à cinq inconnues : ............................................................. 70
4.2 PROBLÈME D'OISEAUX ............................................................................ 72
5. L'algèbre des polynômes ........................................................................ 77
1. Extrait du livre sur le cube et le carré de sinān ibn al-fatḥ (xᶜ s.) ..... 77
2. Extrait du livre flamboyant en algèbre d'as-samaw'al ........................... 80
2.1 DIVISION D'UN POLYNÔME PAR UN POLYNÔME ............................................ 80
2.2 extraction de la racine cubique d'un polynôme .......................................... 83
Les problèmes du troisième degré ............................................................. 88
3.1 Extrait du livre d'algèbre d'al-khayyām .................................................... 88
Existence de la solution positive de l'équation : un cube et un nombre
égal des racines......................................................................................................88
3.2 Extrait du traité des équations de sharaf ad-dīn aṭ-Ṭūsī .......................... 90
Existence de la solution positive de l'équation : un cube et un nombre
égal des racines ................................................................................................... 90
III. La géométrie ........................................................................................... 99
1. LA PHASE ARABE DE LA GÉOMÉTRIE ............................................................ 101
La géométrie du mesurage ............................................................................. 106
La géométrie du découpage ............................................................................. 109
La géométrie, outil de justification ............................................................. 110
2. La géométrie euclidienne plane ................................................................ 113
2.1 le théorème de pythagore selon thābit ibn qurra .................................... 113
Proposition : ................................................................................................... 113
Démonstration : ........................................................................................... 113
Commentaire ................................................................................................... 115
2.2 Le théorème d'al-Mu'taman [dit de Céva] ............................................. 116
Lemme : .......................................................................................................... 116
Démonstration : ........................................................................................... 116
Proposition : ................................................................................................... 117
Exemple de cela : ........................................................................................... 117
La preuve de cela : ........................................................................................... 118
3. LES DÉTERMINATIONS INFINITÉSIMALES ........................................................... 119
Proposition d'al-mu'taman : aire d'une portion de parabole ........ 119
4. LA THEORIE DES RAPPORTS SELON AL-KHAYYĀM ............................................. 122
4.1 L'ÉGALITÉ DE DEUX RAPPORTS ............................................................. 122
4.2 L'INÉGALITÉ DE DEUX RAPPORTS ............................................................. 123
4.3 COMPOSITION DES RAPPORTS ....................................................
5. GÉOMÉTRIE ET DECORATION........................................................................... 128
5.1 composition et décomposition de carrés ............................................. 128
5.2 construction d'un carré à l'aide de deux carrés ............................. 129
5.3 construction d'un carré à l'aide de trois carrés ............................. 131
5.3.1 premier procédé des artisans ........................................................... 131
5.3.2 second procédé des artisans ........................................................... 134
5.3.3 premier procédé des géomètres ........................................................... 136
5.3.4 second procédé des géomètres........................................................... 136
6. GEOMETRIE ET ARCHITECTURE ........................................................................... 136
6.1 constructions des arceaux ........................................................................... 136
Premier type ................................................................................................... 137
Second type ................................................................................................... 138
Troisième type ................................................................................................... 140
Quatrième type ................................................................................................... 140
Cinquième type ................................................................................................... 141
IV. l'arithmétique ........................................................................................... 143
1. Panorama de la théorie des nombres ........................................................... 145
2. L'ARITHMÉTIQUE NÉOPYTHAGORICIENNE ........................................................... 149
3. ARITHMÉTIQUE LUDIQUE ................................................................................... 150
Détermination un nombre pensé ........................................................................... 150
Premier procédé ................................................................................................... 150
Deuxième procédé ................................................................................................... 150
Déterminer deux nombres pensés ........................................................................... 151
Déterminer un nom pensé ................................................................................... 151
Recherche d'une bague cachée ........................................................................... 152
1 LE PROBLÈME DES RESTES ................................................................................... 152
2 LE PROBLÈME DES POIDS ................................................................................... 161
3 DÉCOMPOSITION D'UN ENTIER EN DEUX CARRÉS ........................................................... 162
4 LA « CONJECTURE DE FERMAT » ................................................................................... 164
V. L'analyse combinatoire...........................................................................167
1. A phase arabe de la combinatoire ........................................................... 169
LES PRATIQUES COMBINATOIRES ARABES ANTÉRIEURES AU XIIᵉ SIÈCLE........ 170
Les démarches combinatoires en astronomie : ............................................. 173
Les démarches combinatoires en algèbre ........................................................... 176
LA COMBINATOIRE À PARTIR DU XIIᵉ SIÈCLE ........................................................... 177
La combinatoire en orient : ........................................................................... 178
La combinatoire au maghreb ........................................................................... 179
La contribution d'ibn mun'im (m. 1228) ........................................................... 180
La combinatoire au Maghreb après Ibn Mun'im ............................................. 182
L'application des résultats combinatoires........................................................... 183
2. LES PROPOSITIONS COMBINATOIRES ........................................................................... 185
Manière de procéder avec le tableau ........................................................... 190
Formule arithmétique des combinaisons de n objets p à p ........ 196
3. PROBLÈMES DE NATURE COMBINATOIRE ........................................................................... 197
Le problème des prières.........................................................................................197
généralisation du problème ........................................................................... 198
Dénombrement des équations de degré n ........................................................... 198
I. La science du calcul ........................................................................... 203
1. La phase arabe de la science du calcul ........................................................... 205
2. LES OPÉRATIONS ARITHMÉTIQUES CLASSIQUES........................................................... 211
L'addition ................................................................................................... 211
La soustraction ................................................................................................... 211
La multiplication par translation ........................................................................... 212
La multiplication par semi-translation ........................................................... 212
La multiplication sans translation ........................................................................... 212
La division ................................................................................................... 214
L'extraction de la racine carrée ........................................................................... 214
3. LA MÉTHODE DE FAUSSES POSITIONS ........................................................................... 215
4. PROBLÈMES RÉSOLUS ARITHMÉTIQUEMENT ........................................................................... 216
Problème du serpent ................................................................................... 216
Problèmes des bassins ................................................................................... 217
Problème de fourrage ................................................................................... 217
PROBLÈMES SOUS FORME DE POÈMES ........................................................................... 218
Problème de la diagonale du carré ........................................................................... 218
Problème d'héritage ................................................................................... 218
Une déclaration d'amour ................................................................................... 218
VII. La trigonométrie ........................................................................... 219
La phase arabe de la trigonométrie ........................................................... 221
LES DÉBUTS DE LA PHASE ARABE DE LA TRIGONOMÉTRIE .................................... 221
PRATIQUES RELIGIEUSES ET TRIGONOMÉTRIE ............................................. 223
LA PHASE DE DÉVELOPPEMENT DE LA TRIGONOMÉTRIE ARABE ............ 225
1. Les premiers pas de la trigonométrie arabe ............................................. 225
Les résultats du xiᵉ siècle ........................................................................... 228
Les prémisses d'une nouvelle discipline .................................................... 229
2. Le théorème de menelaüs ........................................................................... 232
3. Le théorème du sinus ........................................................................... 233
Preuve d'abū naṣr ibn ᶜirāq .................................................................... 233
Démonstration ................................................................................................... 233
Preuve d'abū l-wafā' ................................................................................... 235
4. Le théorème de la tangente ........................................................................... 236
5. Détermination de l'arc de visibilité du croissant de lune ............. 238
VIII. Les outils de la démonstration .................................................... 241
1. L'analyse et la synthèse d'après ibn al-haytham .................................... 243
[la théorie des nombres] ........................................................................... 245
[la géométrie] ................................................................................................... 246
[l'astronomie] ................................................................................................... 246
[la science de la musique] ........................................................................... 247
[les différents types de propositions opératoires] .................................... 248
[propositions opératoires délimitées] ........................................................... 248
[propositions opératoires non délimitées] ................................................... 249
[propositions indéterminées] ....................................
249
2. Démonstration et imagination selon as-sijzī ............................................. 252
3. Comment établir un résultat selon as-sijzī ............................................. 254
IX bibliographie générale ........................................................................... 261
Index des noms propre ...........................................................
abstract
Ce livre a été réalisé dans le cadre du P.N.R. « Histoire et Épistémologie des sciences mathématiques et biologiques », en réponse au cahier des charges qui a assigne a ce programme la production d' outils pédagogiques pouvant répondre aux besoins d'un enseignement scientifique rénové et l'élaboration d'une réflexion a la fois historique, épistémologique et didactique en vue de repenser la place de la culture scientifique dans l’apprentissage des savoirs théoriques et techniques et dans la formation du futur citoyen.
L'ouvrage a été conçu comme un outil évolutif à partir de certains travaux de recherche, publies au cours des dernières décennies, et a partir de matériaux puises dans des sources accessibles du patrimoine Mathématiques de la civilisation arabo-musulmane. Certaines de ces sources sont bien connues et leurs contenus ont fait 1'obj et de nombreuses études. D'autres sont peu conues et n'ont pas encore bénéficie de toute I ‘attention qu’ils mériteraient. D’autres enfin sont encore inédites et pourraient alimenter de futurs programmes de recherche.